2022年北京高考数学科目的考试已经结束了，北京教育考试院和北京教科院基教研中心的专家们对今年高考数学试卷进行了权威解析。
数学试卷整体分析
守正创新 推进高考改革迈上新台阶
2022年高考数学北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。
即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学科本质，达到落实高考育人的目的。
一个中心
立德树人
北京卷命题坚持以立德树人为根本任务，构建了引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系。
第7题以国家速滑馆“冰丝带”绿色环保场馆为背景，设置二氧化碳所处的状态与温度和压强的关系图，渗透德育教育。
第18题以学生熟悉的校运动会体育比赛为背景，重点考查统计学中关于数据的收集、估计、预测的基本方法和原理，渗透体育教育。
两个着力点
数学素养、创新能力
一、数学素养
北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。
针对逻辑推理，北京卷设计了至少5道题进行考查。如第15题，是以一个无穷正数数列来设置，考查数列的基本概念、研究数列的增减性、估计数列项的范围、判断数列是否为等比数列等。四个选项既考查合情推理，也考查演绎推理。
针对直观想象，北京卷设计了至少4道题进行考查。如第9题，以正三棱锥为载体、以区域面积为出口，考查空间想象能力。问题的本质是研究球面和平面相交所得圆的性质。
针对数学运算，北京卷设计了至少12道题进行考查。第16题，借助解三角形在考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识的同时，考查学生运算过程的严谨性以及运算的灵活性。
针对数学抽象，北京卷设计了至少2道题进行考查。如第20题（Ⅲ），考查不等式恒成立问题，它的背景是二阶导数大于0，即具有下凸性质的抽象函数在一定条件下都具有的结论。
此外，数学建模和数据分析也分别设置了不同的问题进行考查。
二、创新能力
北京卷设置创新和思维深刻的问题，考查学生的创新能力。如第20题（Ⅲ）和第21题，题目设计创新，考查学生多角度、深层次去理解数学本质。
如第20题（Ⅲ）二元函数不等式的证明这一创新的设问打破常规，需要学生固定一个变量，把动态的问题转化为静态，把二元的问题转化为一元的问题去处理。考查学生将多元与一元，动态与静态，变量与常量，高等与初等，等进行辩证思维的能力。
第21题属于综合题，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。
三个突出
主干知识、思想方法、问题解决能力
一、突出对主干知识的考查
2022年是北京实行新教材的第一年，北京卷基于数学课标，回归教材，突出对主干知识的考查，重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆。重点考查了函数导数与不等式、三角函数与解三角形、平面解析几何、立体几何、统计概率、数列、其他（集合、复数、二项式定理、充要条件、向量）这些主干知识，充分体现了对数学知识考查的基础性和全面性。
同时，北京卷关注学生的不同发展水平，通过设置具有丰富梯度的问题，达到对数学知识的综合考查。如第17题，第20题和21题，均设置多问，体现出层次性和综合性。这不仅为不同能力的学生搭建了台阶，而且也充分体现了数学课程标准中“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。
二、突出对数学思想方法的考查
北京卷从数学学科整体意义和思想价值的高度立意，有效检测学生对数学基础知识和基本思想方法的掌握。如第19题（Ⅱ）考查数形结合思想，第11和第14题考查了函数与方程思想，第10题体现的是化归与转化思想，第18题考查了概率统计的思想，第21题（Ⅲ）考查了分类讨论思想。
三、突出对问题解决能力的考查
北京卷突出对数学应用和跨学科的考查，如第7题选取绿色冬奥会为情境创设数学问题。问题呈现了二氧化碳的三相图，该图可以使学生了解跨学科的知识。通过设置此问题，引导学生认识到现实生活中的环保问题，树立有责任的公民意识。
第18题以体育铅球比赛为背景，考查统计学中预测方法与步骤的全过程。在体育比赛，特别是国际比赛中，预测比赛结果是体育比赛中一个重要的研究方向和热门话题，通过解决此问题，使学生体会到概率统计知识与现实生活的紧密联系。
四条路径
试卷结构、呈现方式、试题素材、数学本质
一、优化试卷结构，体现出基础性和选拔性
北京卷进一步优化试卷的结构，首次将考查立体几何的试题改为结构不良问题，以直三棱柱为背景考查线面关系。给出的两个等价条件，让学生从位置和度量两个方面进行选择。这种尝试增强了试题灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到积极的作用。
在试卷难度控制上，继续保持试题的“入口易、口径宽”，中低难度的试题仍保持了相当的比例。同时，综合创新题依然具有较强的挑战性，并保持了较好的区分度，如第20题第三问，第21题有三问。
二、改革试题呈现方式，体现试题的选择性和开放性
北京卷通过创新题型，设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题等多种方式，体现试题的选择性和开放性。
第14题通过含参的动区间分段函数来设计问题，按照0与1为分界点分三种情况对参数进行讨论，考查学生思维的灵活性和多样性。
第15题设置了一个无穷正数数列，考查数列的增减性、估计数列项的范围、判断数列是否为等比数列。解决此问题需要学生利用放缩的思想，递减数列的定义，数列的下界，反证的思想等去推证和证伪，考查学生对于高阶知识的理解和迁移的能力。
北京卷在命题技术和评分量表上进行持续探索。如设计分层赋分试题。优化了试题的区分和考查效果。
三、精选试题素材，体现数学与社会和学生生活的联系
北京卷在试题素材的选取上真实、自然、合理。
如第7题的背景是 “冰丝带”国家速滑馆。场馆采用二氧化碳跨临界直冷制冰技术，碳排放趋近于零，体现了中国对于绿色冬奥的努力；
第18题设置铅球比赛问题，源于国家规定如果成绩达到9.5m以上，可以获得国家“三级运动员”证书这样的背景，所设计的问题符合现实。材料源于社会、源于真实情境，考查学生问题解决的能力。
四、关注数学本质，引导教学回归课堂
北京卷命题体现数学本质，引导教学回归课堂。
一是试题内容紧扣课标和教材，如第16题、第17题都是解三角形和立体几何的基础性问题，第19题、第20题是解析几何和导数问题，这四道题所考查的知识都是高中的基础知识，所使用的方法也是通性通法。
二是试题关注数学本质。如第10题以平面几何切入，研究向量的数量积问题，学生可以用多种方式解决（建立直角坐标系，转化为直线和圆的位置关系问题求解；所求向量数量积最大的问题；三角函数的值域问题），考查学生对数学本质的理解。第20题和第21题分别考查导数和数列的本质，使学生从深层次去感悟数学的思想和方法。
总之，2022年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精作风的人。
引导教学在六个方面“下功夫”，即在主干知识的掌握上下功夫、在数学学科本质的理解上下功夫、在数学思想方法的领悟上下功夫、在数学应用探究上下功夫、在创新思维形成上下功夫、在数学素养的养成上下功夫。助力学生德智体美劳全面发展。
数学试卷试题分析
稳四基为本 以素养为魂
2022年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学的实际情况及学情特点，知识内容覆盖全面，突出主干；情境问题设计多样，指向数学素养。
相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布；
在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。
命题的总体稳定有利于考生稳定心态，正常发挥，考出自己的数学真实水平。
一、创新问题情境，坚持素养导向
相比于去年，在试题的情境和设问上，适度变化，强调数学素养的发展。
如：第（16）题依然是解三角形问题，但是结构良好，对正弦定理和余弦定理的考查回归基础，突出考查数学运算素养；
第（17）题依然是立体几何问题，证明线面平行以及求线面角的设问也很熟悉，但是第二问的结构不良，需要在给出的两个条件中选出一个作为已知，以确定侧面的形状，考查学生思维的严谨性；
第（9）题以正三棱锥为载体，以集合语言描述题目的条件，涉及的计算并不复杂，突出考查直观想象素养。
二．注重基础知识，考查数学本质
试题重视考查数学的基础知识和基本方法，重点考查主干知识与核心概念。
如选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、直线与圆、函数概念、三角函数性质、函数定义域、双曲线的性质等内容。这些试题涉及的知识点相对单一，试题情境和设问比较熟悉，考查的也是对基础知识的掌握与理解，较为容易。
再如第（16）题的解三角形问题、第（19）题的直线与椭圆综合问题等，考查的均是主干知识与常规方法。
试题在体现知识考查的全面性、基础性和综合性的同时，突出考查了学生分析问题和解决问题的能力，重点关注数学本质和思维品质的考查。
如：第（8）题二项式定理问题，既可以利用初中的公式展开，也可以赋值利用通解通法来解决；
第（10）题的背景是一个向量问题，考查了用代数知识解决几何问题这个基本方法，体现了学生的数学思维水平；
第（20）题的利用导数知识解决函数综合问题，充分的体现了导数的工具作用，对函数知识本质的理解有一定要求。
三、关注数学应用，考查实践能力
试题关注数学知识和方法的灵活应用。实际应用问题关注学生的身边事，体现了数学源于生活且高于生活，以及数学作为基础学科的应用价值。
如：第（7）题以北京冬奥会上国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术为背景，以图形方式给出二氧化碳所处的状态与温度、压强的关系，考查了学生读图、识图、分析图表数据、估值等数学应用能力；
第（18）题以学生熟悉的校运会铅球比赛创设生活实践情境，通过研究甲乙丙三位同学以往的比赛数据，考查学生在不同容量的样本数据中，灵活运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力，引导学生用数学的思考方式解决问题、认识世界。创新问题关注数学本质，体现数学的思维特点。
如：第（21）题以数列为载体，考查学生对新情境新知识的理解，让学生在阅读数学符号和认识新概念的基础上，即时学习并创新应用，体现了获取新知识的能力和创新意识。
纵观整份试卷，保持了北京试卷基础、综合、灵活的特色，稳中求进。在突出对基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法考查的同时，突出对数学素养的考查，展现了数学学科的育人价值。这套试卷给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对数学学科的日常教学及深化改革有积极的引导作用。
北辰（北京教育考试院）
孙秀平正高级教师（北京市西城区教育研修学院）
赵慧娥高级教师（北京教育学院石景山分院）
李青霞高级教师（北京教育科学研究院）